Chapter 09. 최단경로

가장 빠르게 도달하는 방법

 

다익스트라 최단경로 알고리즘

: 그래프에서 여러개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘.

www.youtube.com/watch?v=HFapeLxvdNg

방법1. 간단한 다익스트라 알고리즘(느리게 동장하는 코드)

시간복잡도 : O(V의 제곱)

[전체 노드의 개수가 5,000개 이하일 때 사용 가능] -> 10,000개가 넘어갈경우, 개선된 다익스트라 알고리즘 활용할 것!

매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)한다.

-> input()을 더 빠르게 동장하는 sys.std.realine()으로 치환하여 사용하는 방법을 적용.

-> DFS에서의 소스코드와 마찬가지로 모든 리스트는 (노드의 개수 + 1)의 크기로 할당하여, 리스트에 접근한다.

 

알게된 점) 파이썬에서 입력 값을 받을 때 보통 input()을 이용한다. 하지만 알고리즘에서 input()을 이용할 때 종종 시간 초과가 발생하기 때문에 sys 모듈의 sys.stdin을 사용한다.

inport sys 사용

 

# 간단한 다익스트라 알고리즘 소스코드
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

    # 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
    def get_smallest_node():
        min_value = INF
        index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
        for i in range(1, n+1):
            if distance[i] < min_value and not visited[i]:
                index = i
        return index

    def dijkstra(start):
        # 시작 노드에 대해서 초기화
        distance[start] = 0
        visited[start] = True
        for j in graph[start]:
            distance[j[0]] = j[1]
        # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
        for i in range(n - 1):
            # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
            now = get_smallest_node()
            visited[now] = True
            # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
            for j in graph[now]:
                cost = distance[now] + j[1]
                # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
                if cost < distance[j[0]]:
                    distance[j[0]] = cost

    # 다익스트라 알고리즘 수행
    dijkstra(start)

    # 모든 노드로 가기 위한 최단 거리 출력
    for i in range(1, n + 1):
        # 도달 할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if distance[i] == INF:
            print("INFINITY")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(distance[i])

 

방법2. 개선된 다익스트라 알고리즘(빠르게 동작하는 코드)

시간복잡도 : O(ElogV)   v는 노드의 개수, E는 간선의 개수

힙(Heap) 자료구조를 사용, 특정 노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아서 처리하므로, 가장 거리가 짧은 노드를 최대한 빨리 찾음.

힙 자료구조 : 우선순위 큐를 구현하기 위하여 사용하는 자료구조

DFS/BFS에서의 스택과 큐의 원리(스택은 가장 나중에 삽입된 데이터를 가장 먼저 삭제, 큐는 가장 먼저 삽입된 데이터를 가장 먼저 삭제)

자료구조	추출되는 데이터
스택(Stack)	가장 나중에 삽입된 데이터
큐(Queue)	가장 먼저 삽입된 데이터
우선순위 큐(Priority Queue)	ㅋㅋㅋㅋ장 우선순위가 높은 데이터

* 우선순위 큐 : 여러개의 데이터를 자료구조에 넣었다가, 가치가 높은 물건 데이터부터 꺼내서 확인해야 하는 경우

-> PriorityQueue

-> heapq, 더 빠르게 작동함. 

* 최소 힙 : 값이 낮은 데이터가 먼저 삭제되는 경우.

* 최대 힙 : 값이 큰 데이터가 먼저 삭제되는 경우.

--> 다익스트라 최단 경로 알고리즘 : 비용이 적은 노드를 우선하여 방문, 최소 힙 구조를 기반으로 하는 파이썬 우선순위 큐 라이브러리 그대로 사용하면 적합.

 [일부러 우선순위에 해당하는 값에 음수 부호(-)를 붙여 넣었다고, 나중에 우선순위 큐에서 꺼낸 다음에 다음 음수 부호(-)를 붙여서 원래의 값으로 돌리는 방식을 사용한다.]

 

* 시간복잡도 : O(NlogN)

리스트로 구현 : O(N의 제곱)

<시간복잡도 비교>

우선순위 큐 구현 방식	삽입 시간	삭제 시간
리스트	O(1)	O(N)
힙(Heap)	O(logN)	O(logN)

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) * 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split)
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split)
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

        # 다익스트라 알고리즘 수행
        dijkstra(start)

        # 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
        for i in range(1, n + 1):
            # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
            if distance[i] == INF
                print("INFINITY")
            # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
            else:
                print(distance[i])

시간 복잡도 : O(ElogV) 

 

폴로이드 워셜 알고리즘

: 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우에 사용할 수 있는 알고리즘

모든 정점에서 모든 정점으로 가는 최단 경로를 다 구하기 때문에 2차원 배열을 사용함.

* 시간 복잡도 : O(N의 세제곱)

www.youtube.com/watch?v=9574GHxCbKc

이차원 배열을 반복적으로 갱신하여, 최종적으로 모든 최소 비용을 구해야 함.

그 반복의 기준이 '거쳐가는 정점'인 것!

 

1->1 '0'	1->2  '4'	1->3 무한	1->4 '6'
2->1 '3'	2->2  '0'	2->3 '7'	2->4 무한
3->1 '5'	3->2  무한	3->3 '0'	3->4 '4'
4->1 무한	4->2 무한	4->3 '2'	4->4 '0'

X에서 Y로 가는 최소 비용 VS X에서 노드 1로 가는 비용 + 노드 1에서 Y로 가는 비용

* 시간복잡도 : O(N의 세제곱)

# 플로이드 워셜 알고리즘 소스코드
INF = int(1e9)

#노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF]] * (n + 1) for _ in range(n + 1)
# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            if a == b:
                graph[a][b] = 0
    # 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
    for _ in range(m):
        # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
        a, b, c = map(int, input().split)
        graph[a][b] = c
    
    # 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
    for k in range(1, n + 1):
        for a in rnage(1, n + 1):
            for b in range(1, n + 1):
                graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

    # 수행된 결과를 출력
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)라고 출력
            if graph[a][b] == INF:
                print("INFINITY", end = " ")
            # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
            else:
                print(graph[a][b], end= " ")
        print()

 

실전문제 1. 미래도시

# 미래 도시
# 전형적인 플로워셜 알고리즘
# 1번 노드에서 X까지의 최단거리 + X에서 K까지의 최단거리 (1,x)(x, k)
# N의 범위가 100이하로 매우 한정적, 구현이 간단한 플로이드 워셜 알고리즘 활용하는 것이 유리

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 10억을 설정

n, m = map(int, input().split)
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF]*(n + 1)] for _ in range (n + 1)

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a = = b:
            graph[a][b] = 0

for _ in range(m):
    # A, B가 서로에게 가는 비용은 1이라고 설정
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a][b] =  1
    graph[a][b] = 1

x, k = map(int, input().split())

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
        
# 수행된 결과를 출력
distance = graph[1][k] + graph[k][x]

# 도달할 수 없는 경우, -1 출력
if distance >= INF:
    print("-1")
# 도달할 수 있다면, 최단 거리를 출력
else:
    print(distance)

 

실전문제 2. 전보