가우스소거법 vs 가우스조르단소거법

1번

연립방정식

(1) x₁ + x₂ + 2x₃ = 8
(2) -x₁ - 2x₂ + 3x₃ = 1
(3) 3x₁ - 7x₂ + 4x₃ = 10

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1-1. 가우스 소거법

[확대행렬]

1   1   2 |  8
-1 -2   3 |  1
3  -7   4 | 10

첫 번째 열 아래를 0으로 만든다.

R2 ← R2 + R1
R3 ← R3 - 3R1

그러면

1   1    2 |  8
0  -1    5 |  9
0 -10   -2 | -14

둘째 열 아래를 0으로 만든다.

R3 ← R3 - 10R2

계산:
R3 = (0, -10, -2 | -14) - 10(0, -1, 5 | 9)
= (0, -10, -2 | -14) - (0, -10, 50 | 90)
= (0, 0, -52 | -104)

따라서

1   1    2 |   8
0  -1    5 |   9
0   0  -52 | -104

이제 뒤에서부터 푼다.

3행: -52x₃ = -104
→ x₃ = 2

2행: -x₂ + 5x₃ = 9
→ -x₂ + 10 = 9
→ -x₂ = -1
→ x₂ = 1

1행: x₁ + x₂ + 2x₃ = 8
→ x₁ + 1 + 4 = 8
→ x₁ = 3

정답:
x₁ = 3, x₂ = 1, x₃ = 2

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1-2. 가우스-조르단 소거법

처음 행렬

1   1   2 |  8
-1 -2   3 |  1
3  -7   4 | 10

먼저 똑같이 아래를 0으로 만든다.

R2 ← R2 + R1
R3 ← R3 - 3R1

1   1    2 |  8
0  -1    5 |  9
0 -10   -2 | -14

다음

R3 ← R3 - 10R2

1   1    2 |   8
0  -1    5 |   9
0   0  -52 | -104

이제 가우스-조르단은 선도원소 위아래를 전부 0으로 만든다.

먼저 3행을 1로 만든다.

R3 ← (-1/52)R3

1   1   2 | 8
0  -1   5 | 9
0   0   1 | 2

3열의 위를 0으로 만든다.

R2 ← R2 - 5R3
R1 ← R1 - 2R3

계산 후

1   1   0 |  4
0  -1   0 | -1
0   0   1 |  2

2행의 선도원소를 1로 만든다.

R2 ← -R2

1   1   0 | 4
0   1   0 | 1
0   0   1 | 2

2열의 위를 0으로 만든다.

R1 ← R1 - R2

1   0   0 | 3
0   1   0 | 1
0   0   1 | 2

정답:
x₁ = 3, x₂ = 1, x₃ = 2

⸻

2번

연립방정식

(1) x - y + 2z - u = -1
(2) 2x - y - 2z + 2u = -2
(3) -x - 2y - 4z + u = 1
(4) 3x - 3u = -3

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2-1. 가우스 소거법

[확대행렬]

1  -1   2  -1 | -1
2  -1  -2   2 | -2
-1 -2  -4   1 |  1
3   0   0  -3 | -3

첫째 열 아래를 0으로 만든다.

R2 ← R2 - 2R1
R3 ← R3 + R1
R4 ← R4 - 3R1

계산하면

1  -1   2  -1 | -1
0   1  -6   4 |  0
0  -3  -2   0 |  0
0   3  -6   0 |  0

둘째 열 아래를 0으로 만든다.

R3 ← R3 + 3R2
R4 ← R4 - 3R2

계산:

R3 = (0, -3, -2, 0 | 0) + 3(0, 1, -6, 4 | 0)
= (0, 0, -20, 12 | 0)

R4 = (0, 3, -6, 0 | 0) - 3(0, 1, -6, 4 | 0)
= (0, 0, 12, -12 | 0)

따라서

1  -1    2   -1 | -1
0   1   -6    4 |  0
0   0  -20   12 |  0
0   0   12  -12 |  0

셋째 열 아래를 0으로 만든다.

R4 ← 5R4 + 3R3

5R4 = (0, 0, 60, -60 | 0)
3R3 = (0, 0, -60, 36 | 0)

더하면

R4 = (0, 0, 0, -24 | 0)

따라서

1  -1    2   -1 | -1
0   1   -6    4 |  0
0   0  -20   12 |  0
0   0    0  -24 |  0

이제 뒤에서부터 푼다.

4행: -24u = 0
→ u = 0

3행: -20z + 12u = 0
→ -20z = 0
→ z = 0

2행: y - 6z + 4u = 0
→ y = 0

1행: x - y + 2z - u = -1
→ x = -1

정답:
x = -1, y = 0, z = 0, u = 0

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2-2. 가우스-조르단 소거법

처음 행렬

1  -1   2  -1 | -1
2  -1  -2   2 | -2
-1 -2  -4   1 |  1
3   0   0  -3 | -3

먼저 같은 방식으로 아래를 0으로 만든다.

R2 ← R2 - 2R1
R3 ← R3 + R1
R4 ← R4 - 3R1

1  -1   2  -1 | -1
0   1  -6   4 |  0
0  -3  -2   0 |  0
0   3  -6   0 |  0

다음

R3 ← R3 + 3R2
R4 ← R4 - 3R2

1  -1    2   -1 | -1
0   1   -6    4 |  0
0   0  -20   12 |  0
0   0   12  -12 |  0

다음

R4 ← 5R4 + 3R3

1  -1    2   -1 | -1
0   1   -6    4 |  0
0   0  -20   12 |  0
0   0    0  -24 |  0

4행을 1로 만든다.

R4 ← (-1/24)R4

1  -1    2   -1 | -1
0   1   -6    4 |  0
0   0  -20   12 |  0
0   0    0    1 |  0

4열의 위를 0으로 만든다.

R1 ← R1 + R4
R2 ← R2 - 4R4
R3 ← R3 - 12R4

그러면

1  -1    2   0 | -1
0   1   -6   0 |  0
0   0  -20   0 |  0
0   0    0   1 |  0

3행을 1로 만든다.

R3 ← (-1/20)R3

1  -1   2   0 | -1
0   1  -6   0 |  0
0   0   1   0 |  0
0   0   0   1 |  0

3열의 위를 0으로 만든다.

R1 ← R1 - 2R3
R2 ← R2 + 6R3

1  -1   0   0 | -1
0   1   0   0 |  0
0   0   1   0 |  0
0   0   0   1 |  0

2열의 위를 0으로 만든다.

R1 ← R1 + R2

1   0   0   0 | -1
0   1   0   0 |  0
0   0   1   0 |  0
0   0   0   1 |  0

정답:
x = -1, y = 0, z = 0, u = 0

⸻

최종 답

1번: x₁ = 3, x₂ = 1, x₃ = 2

2번: x = -1, y = 0, z = 0, u = 0

원하면 내가 다음 답변에서
진짜 공책에 옮기기 쉽게 한 줄씩만 쓰는 제출용 버전으로 다시 압축해서 써줄게.