플로이드 워셜, 다익스트라 알고리즘

플로이드 워셜 알고리즘

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

• 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산한다
• 플로이드 워셜(Floyd-Warshall) 알고리즘은 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계별로 거쳐 가는 노드를
  기준으로 알고리즘을 수행한다
  • 다만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하지 않다
• 플로이드 워셜은 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장한다
• 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍 유형에 속한다
• 각 단계마다 특정한 노드 𝑘를 거쳐 가는 경우를 확인한다
  • 𝑎에서 𝑏로 가는 최단 거리보다 𝑎에서 𝑘를 거쳐 𝑏로 가는 거리가 더 짧은지 검사한다
• 점화식은 다음과 같다

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플로이드 워셜 알고리즘: 동작 과정 살펴보기

• [초기 상태] 그래프를 준비하고 최단 거리 테이블을 초기화한다

• [Step 1] 1번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다

• [Step 2] 2번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다

• [Step 3] 3번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다

• [Step 4] 4번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다

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다익스트라 알고리즘 (Heap 힙 라이브러리 사용하여 구현)

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 다익스트라 알고리즘을 수행
    while q:
          # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보를 꺼내기
          dist, x, y = heapq.heappop(q)
          # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
          if distance[x][y] < dist:
              continue
          # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
          for i in range(4):
              nx = x + dx[i]
              ny = y + dy[i]
              # 맵의 범위를 벗어나는 경우 무시
              if nx < 0 or nx >= n or ny < 0 or ny >= n:
                  continue
              cost = dist + graph[nx][ny]
              # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
              if cost < distance[nx][ny]:
                  distance[nx][ny] = cost
                  heapq.heappush(q, (cost, nx, ny))

힙(Heap)

• 우선순위 큐(Priority Queue)를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나이다
• 최소 힙(Min Heap) 과 최대 힙(Max Heap) 이 있다
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘을 포함해 다양한 알고리즘에서 사용된다

우선순위 큐 구현 방식삽입 시간삭제 시간

리스트	O(1)	O(N)
힙(Heap)	O(logN)	O(logN)

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힙 라이브러리 사용 예제: 최소 힙

import heapq

# 오름차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(iterable):
    h = []
    result = []
    # 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
    for value in iterable:
        heapq.heappush(h, value)
    # 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
    for i in range(len(h)):
        result.append(heapq.heappop(h))
    return result

result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result)

실행 결과

[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

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힙 라이브러리 사용 예제: 최대 힙

import heapq

# 오름차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(iterable):
    h = []
    result = []
    # 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
    for value in iterable:
        heapq.heappush(h, -value)
    # 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
    for i in range(len(h)):
        result.append(-heapq.heappop(h))
    return result

result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result)

실행 결과

[9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0]

최단 경로 문제

• 최단 경로 알고리즘은 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘을 의미함
• 다양한 문제 상황
  • 한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로
  • 한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
  • 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
• 각 지점은 그래프에서 노드로 표현
• 지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현

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다익스트라 최단 경로 알고리즘 개요

• 특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산한다
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작한다
  • 현실 세계의 도로(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않습니다
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류된다
  • 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복한다

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다익스트라 최단 경로 알고리즘

• 알고리즘의 동작 과정은 다음과 같다
  1. 출발 노드를 설정한다
  2. 최단 거리 테이블을 초기화한다
  3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다
  4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다
  5. 위 과정에서 3번과 4번을 반복한다
• 알고리즘 동작 과정에서 최단 거리 테이블은 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 가지고 있다
• 처리 과정에서 더 짧은 경로를 찾으면 '이제부터는 이 경로가 제일 짧은 경로야'라고 갱신한다

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다익스트라 최단 경로 알고리즘: 동작 과정 살펴보기

• [초기 상태] 그래프를 준비하고 출발 노드를 설정한다

• [Step 1] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 1번 노드를 처리한다

• [Step 2] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 4번 노드를 처리한다

• [Step 3] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 2번 노드를 처리한다

• [Step 4] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 5번 노드를 처리한다

• [Step 5] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 3번 노드를 처리한다

• [Step 6] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 6번 노드를 처리한다
  

  

 

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다익스트라 알고리즘의 특징

• 그리디 알고리즘: 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복한다
• 단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되어 더 이상 바뀌지 않는다
  • 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있다
• 다익스트라 알고리즘을 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장된다
  • 완벽한 형태의 최단 경로를 구하려면 소스코드에 추가적인 기능을 더 넣어야 한다

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다익스트라 알고리즘: 간단한 구현 방법

• 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 테이블의
  모든 원소를 확인(순차 탐색)한다

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])