✅ 객관식 정답 & 해석
| 1 | d | 2경기에서 (승/패/무) → 경우의 수는 3×3=9 | 보기에 9가 없으므로 d |
| 2 | b (0.53) | P(B) 구하기 | P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) → 0.72=0.85+P(B)−0.660.72=0.85+P(B)-0.66 → P(B)=0.53P(B)=0.53 |
| 3 | b | 항상 참인 명제 | 확률의 여사건: P(A)=1−P(Ac)P(A)=1-P(A^c) |
| 4 | d | 베이즈 정리 용도 | 사후확률 계산 |
| 5 | d | 이산확률함수 조건 | ∑f(x)=1, f(x)≥0\sum f(x)=1,\ f(x)\ge 0이어야 함. 보기 a,b,c 모두 틀림 |
| 6 | b (12) | 이항분산 | np(1−p)=50×0.4×0.6=12np(1-p)=50×0.4×0.6=12 |
| 7 | c | 100피트당 하자 개수 | 단위구간 사건수 → 포아송 |
| 8 | b | 이항 vs 초기하 | 초기하는 복원추출 아님 → 성공확률이 시행마다 변함 |
| 9 | a (0.25) | 균등분포(6~10) 밀도 | 1/(10−6)=0.251/(10-6)=0.25 |
| 10 | d | 확률변수 | 이동시간 자체 |
| 11 | b (0.8) | 80분 이내 | (80−40)/(90−40)=40/50=0.8(80-40)/(90-40)=40/50=0.8 |
| 12 | d (0.600) | 60분보다 길다 | (90−60)/(90−40)=30/50=0.6(90-60)/(90-40)=30/50=0.6 |
| 13 | a (0) | 정확히 50분 | 연속형에서 점확률 0 |
| 14 | d | 평균이 음수 | 평균은 음수 가능, 표준편차/분산은 음수가 아님 |
| 15 | a (1.08) | 오른쪽 면적 0.1401 | 표준정규표에서 P(Z>z)=0.1401⇒z≈1.08P(Z>z)=0.1401 \Rightarrow z\approx 1.08 |
| 16 | a | 확률변수 | 초봉(연속형 변수) |
| 17 | b (0.9772) | ≥ $30,000 | z=(30000−40000)/5000=−2⇒P(Z>−2)=0.9772z=(30000-40000)/5000=-2\Rightarrow P(Z>-2)=0.9772 |
| 18 | c (0.0668) | ≥ $47,500 | z=1.5⇒P(Z>1.5)=0.0668z=1.5\Rightarrow P(Z>1.5)=0.0668 |
| 19 | d (76.98%) | $34k~$46k | z=±1.2⇒2Φ(1.2)−1=0.7698z=\pm1.2\Rightarrow 2\Phi(1.2)-1=0.7698 |
| 20 | b (10) | 지수분포 평균 | f(x)=λe−λx, λ=1/10⇒μ=1/λ=10f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\ \lambda=1/10\Rightarrow \mu=1/\lambda=10 |
| 21 | c (0.3935) | x<5x<5 | 1−e−5/10=1−e−0.5≈0.39351-e^{-5/10}=1-e^{-0.5}\approx 0.3935 |
| 22 | b (0.1920) | 3≤x≤63\le x\le 6 | e−0.3−e−0.6≈0.1920e^{-0.3}-e^{-0.6}\approx 0.1920 |
| 23 | b | 표준오차 변화 | SE∝1/n⇒×12≈70%SE\propto 1/\sqrt{n}\Rightarrow \times \frac{1}{\sqrt{2}}\approx 70\% |
- 실제 영어 문제 -
MULTIPLE CHOICE QUESTIONS
1. Assume your favorite football team has 2 games left to finish the season. The outcome of each game can be win, lose or tie. The number of possible outcomes is
a. 2 b. 4 c. 6 d. None of the other answers is correct.
1.
정답: d
해설: 각 경기 결과가 {승, 패, 무} 3가지 → 2경기 → 32=93^2=9가지. 보기 a~c(2,4,6)에 해당 없음 → d.
팁: 결과 경우의 수 = (선택지 수)^(시행 수).
1.
당신이 좋아하는 축구팀이 시즌을 마치기까지 2경기를 남겨두고 있다고 하자.
각 경기의 결과는 이김(Win), 짐(Lose), 또는 비김(Tie) 이 될 수 있다.
가능한 결과의 조합 수는 몇 개인가?
a. 2
b. 4
c. 6
d. 위의 답 중 어떤 것도 옳지 않다.
2. If P(A) = 0.85, P(A È B) = 0.72, and P(A Ç B) = 0.66, then P(B) =?
a. 0.15 b. 0.53 c. 0.28 d. 0.15
2.
정답: b (0.53)
해설: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)
⇒P(B)=0.72−0.85+0.66=0.53\Rightarrow P(B)=0.72-0.85+0.66=0.53.
팁: 합사건 공식은 “더하고 교집합 빼기”.
2.
만약
P(A)=0.85, P(A∪B)=0.72, P(A∩B)=0.66P(A) = 0.85, \; P(A ∪ B) = 0.72, \; P(A ∩ B) = 0.66
이라면, P(B)P(B) 의 값은?
a. 0.15
b. 0.53
c. 0.28
d. 0.15
3. Which of the following statements is(are) always true?
a. -1 £ P(Ei) £1
b. P(A) = 1 - P(Ac)
c. P(A) + P(B) = 1
d. both P(A) = 1 - P(Ac) and P(A) + P(B) = 1
3.
정답: b
해설: 확률은 0≤P(⋅)≤10\le P(\cdot)\le 1. (a는 하한 -1이라 오답)
P(A)=1−P(Ac)P(A)=1-P(A^c)는 항상 참. P(A)+P(B)=1P(A)+P(B)=1은 항상은 아님.
팁: 여사건 규칙은 가장 자주 쓰이는 기본 규칙.
3.
다음 중 항상 참인 명제는?
a. −1≤P(Ei)≤1-1 ≤ P(E_i) ≤ 1
b. P(A)=1−P(Ac)P(A) = 1 - P(A^c)
c. P(A)+P(B)=1P(A) + P(B) = 1
d. b와 c 둘 다 참이다.
4. Bayes’ theorem is used to compute
a. the prior probabilities
b. the union of events
c. both the prior probabilities and the union of events
d. the posterior probabilities
4.
정답: d
해설: 베이즈 정리는 사후확률 계산에 사용.
팁: “사전(prior) → 데이터 → 사후(posterior)”.
4.
베이즈 정리(Bayes’ theorem) 은 무엇을 구할 때 사용되는가?
a. 사전확률(prior probabilities)
b. 사건의 합집합(union of events)
c. 사전확률과 사건의 합집합 둘 다
d. 사후확률(posterior probabilities)
5. Which of the following is(are) required condition(s) for a discrete probability function?
a. Sf(x) = 0
b. f(x) ³ 1 for all values of x
c. f(x) < 0
d. None of the answers is correct.
5.
정답: d
해설: 이산확률함수 조건은 ∑f(x)=1, f(x)≥0\sum f(x)=1,\, f(x)\ge 0. 보기 a,b,c 모두 위배.
팁: “합은 1, 값은 음수가 아니다”만 기억.
5.
다음 중 이산 확률함수(discrete probability function) 가 만족해야 할 조건은?
a. ∑f(x)=0\sum f(x) = 0
b. f(x)≥1f(x) ≥ 1 for all x
c. f(x)<0f(x) < 0
d. 위의 답 중 옳은 것이 없다.
Assume that you have a binomial experiment with p = 0.4 and a sample size of 50. The variance of this distribution is
a. 20
b. 12
c. 3.46
d. Not enough information is given to answer this question.
(Binomial) p=0.4, n=50의 분산
정답: b (12)
해설: Var=np(1−p)=50⋅0.4⋅0.6=12\mathrm{Var}=np(1-p)=50\cdot 0.4\cdot 0.6=12.
팁: 평균 npnp, 분산 np(1−p)np(1-p).
6.
이항실험(binomial experiment)에서 p=0.4p = 0.4, 표본 크기 n=50n = 50일 때,
분포의 분산(variance) 은 얼마인가?
a. 20
b. 12
c. 3.46
d. 정보를 충분히 알 수 없다.
In the textile industry, a manufacturer is interested in the number of blemishes or flaws occurring in each 100 feet of material. The probability distribution that has the greatest chance of applying to this situation is the
a. normal distribution
b. binomial distribution
c. Poisson distribution
d. uniform distribution
(결함 개수 분포)
정답: c (Poisson)
해설: 고정 길이당 결함 발생 횟수 → 포아송.
팁: “단위 당 사건 수”는 포아송을 먼저 의심.
7.
섬유산업에서, 제조업체가 100피트당 발생하는 결점(blemishes) 또는 하자(flaws) 의 개수에 관심이 있다.
이 경우 가장 적절한 확률분포는?
a. 정규분포 (normal)
b. 이항분포 (binomial)
c. 포아송분포 (Poisson)
d. 균등분포 (uniform)
The key difference between the binomial and hypergeometric distribution is that with the hypergeometric distribution the
a. probability of success must be less than 0.5
b. probability of success changes from trial to trial
c. trials are independent of each other
d. random variable is continuous
(Binomial vs Hypergeometric 차이)
정답: b
해설: 초등분포(고퍼지오메트릭)는 비복원 추출 → 시행 간 성공확률이 변함.
팁: 복원추출=베르누이 독립(이항), 비복원=초등.
8.
이항분포와 초기하분포(hypergeometric distribution)의 주요 차이점은 무엇인가?
a. 성공 확률이 0.5보다 작아야 한다.
b. 성공 확률이 시행마다 변한다.
c. 시행들이 서로 독립이다.
d. 확률변수가 연속형이다.
9. The assembly time for a product is uniformly distributed between 6 to 10 minutes. The probability density function has what value in the interval between 6 and 10?
a. 0.25
b. 4.00
c. 5.00
d. zero
(Uniform 6~10의 pdf 값)
정답: a (0.25)
해설: 균등분포 [a,b][a,b]의 밀도는 1/(b−a)=1/4=0.251/(b-a)=1/4=0.25.
팁: 구간 길이의 역수.
9.
한 제품의 조립시간이 6분에서 10분 사이에 균등하게 분포한다고 하자.
그 구간 내에서 확률밀도함수(pdf)의 값은 얼마인가?
a. 0.25
b. 4.00
c. 5.00
d. 0
Exhibit 1
The travel time for a college student traveling between her home and her college is uniformly distributed between 40 and 90 minutes.
10. Refer to Exhibit 1. What is the random variable in this experiment?
a. the uniform distribution
b. 40 minutes
c. 90 minutes
d. the travel time
Exhibit 1 (Uniform 40~90분)
10.
정답: d (이동 시간)
해설: 확률변수는 “여행 시간” 자체.
팁: 분포 이름/매개변수 ≠ 확률변수.
[Exhibit 1]
한 대학생이 집과 학교 사이를 이동할 때 걸리는 시간이 40분에서 90분 사이에서 균등분포 한다고 하자.
10.
Exhibit 1을 참고하시오.
이 실험에서의 확률변수(random variable)는 무엇인가?
a. 균등분포 자체
b. 40분
c. 90분
d. 이동시간(travel time)
11. Refer to Exhibit 1. The probability that she will finish her trip in 80 minutes or less is
a. 0.02
b. 0.8
c. 0.2
d. 1.00
11.
정답: b (0.8)
해설: P(T≤80)=80−4090−40=4050=0.8P(T\le 80)=\frac{80-40}{90-40}=\frac{40}{50}=0.8.
팁: 균등분포 누적확률 = (길이/전체 길이).
11.
Exhibit 1을 참고하시오.
그녀가 80분 이내에 이동을 마칠 확률은?
a. 0.02
b. 0.8
c. 0.2
d. 1.00
12. Refer to Exhibit 1. The probability that her trip will take longer than 60 minutes is
a. 1.00
b. 0.40
c. 0.02
d. 0.600
12.
정답: d (0.600)
해설: P(T>60)=90−6050=0.6P(T>60)=\frac{90-60}{50}=0.6.
팁: “보다 크다”는 우측 꼬리 길이.
12.
Exhibit 1을 참고하시오.
그녀의 이동시간이 60분보다 길 확률은?
a. 1.00
b. 0.40
c. 0.02
d. 0.600
13. Refer to Exhibit 1. The probability that her trip will take exactly 50 minutes is
a. zero
b. 0.02
c. 0.06
d. 0.20
13.
정답: a (0)
해설: 연속형 분포에서 한 점의 확률은 0.
팁: “정확히 ○○”는 연속형이면 0.
13.
Exhibit 1을 참고하시오.
그녀의 이동시간이 정확히 50분일 확률은?
a. 0
b. 0.02
c. 0.06
d. 0.20
14. If the mean of a normal distribution is negative,
a. the standard deviation must also be negative
b. the variance must also be negative
c. a mistake has been made in the computations, because the mean of a normal distribution can not be negative
d. None of the alternative answers is correct.
14. (정규분포 평균이 음수일 때)
정답: d
해설: 평균은 얼마든지 음수 가능. 표준편차/분산은 양수.
팁: 위치(평균)는 자유, 퍼짐(표준편차)은 양수.
14.
정규분포의 평균이 음수라면?
a. 표준편차도 반드시 음수여야 한다.
b. 분산도 반드시 음수여야 한다.
c. 계산이 잘못되었다. 정규분포의 평균은 음수가 될 수 없다.
d. 위의 선택지 중 옳은 것이 없다.
15. Given that z is a standard normal random variable, what is the value of z if the area to the right of z is 0.1401?
a. 1.08
b. 0.1401
c. 2.16
d. -1.08
15. (표준정규, 우측면적 0.1401인 z)
정답: a (1.08)
해설: P(Z>z)=0.1401⇒z≈1.08P(Z>z)=0.1401 \Rightarrow z\approx 1.08.
팁: 우측면적 ↔ 표준정규표의 꼬리확률 매칭.
Exhibit 2 (정규, μ=$40,000, σ=$5,000)
15.
표준정규분포 ZZ에서, Z의 오른쪽 면적이 0.1401일 때, Z값은?
a. 1.08
b. 0.1401
c. 2.16
d. -1.08
Exhibit 2
The starting salaries of individuals with an MBA degree are normally distributed with a mean of $40,000 and a standard deviation of $5,000.
16. Refer to Exhibit 2. What is the random variable in this experiment?
a. the starting salaries
b. the normal distribution
c. $40,000
d. $5,000
16.
정답: a (시작 연봉)
해설: 확률변수는 개인의 시작 연봉.
팁: 분포/평균/표준편차는 변수의 성질이지 변수 자체가 아님.
[Exhibit 2]
MBA 학위를 가진 사람들의 초봉이 평균 $40,000, 표준편차 $5,000인 정규분포를 따른다고 하자.
16.
Exhibit 2를 참고하시오.
이 실험의 확률변수는 무엇인가?
a. 초봉 (starting salaries)
b. 정규분포 (normal distribution)
c. $40,000
d. $5,000
17. Refer to Exhibit 2. What is the probability that a randomly selected individual with an MBA degree will get a starting salary of at least $30,000?
a. 0.4772
b. 0.9772
c. 0.0228
d. 0.5000
17.
정답: b (0.9772)
해설: z=30000−400005000=−2z=\frac{30000-40000}{5000}=-2.
P(X≥30000)=P(Z≥−2)=0.9772P(X\ge 30000)=P(Z\ge -2)=0.9772.
팁: 좌우대칭: P(Z≥−a)=P(Z≤a)P(Z\ge -a)=P(Z\le a).
17.
Exhibit 2를 참고하시오.
무작위로 선택한 MBA 졸업자가 최소 $30,000 이상의 초봉을 받을 확률은?
a. 0.4772
b. 0.9772
c. 0.0228
d. 0.5000
18. Refer to Exhibit 2. What is the probability that a randomly selected individual with an MBA degree will get a starting salary of at least $47,500?
a. 0.4332
b. 0.9332
c. 0.0668
d. 0.5000
18.
정답: c (0.0668)
해설: z=47500−400005000=1.5z=\frac{47500-40000}{5000}=1.5.
P(X≥47500)=1−Φ(1.5)=0.0668P(X\ge 47500)=1-\Phi(1.5)=0.0668.
팁: “이상(at least)”는 우측 꼬리.
18.
Exhibit 2를 참고하시오.
무작위로 선택한 MBA 졸업자가 $47,500 이상의 초봉을 받을 확률은?
a. 0.4332
b. 0.9332
c. 0.0668
d. 0.5000
19. Refer to Exhibit 2. What percentage of MBA's will have starting salaries of $34,000 to $46,000?
a. 38.49%
b. 38.59%
c. 50%
d. 76.98%
19.
정답: d (76.98%)
해설: 경계 z: −1.2,+1.2-1.2, +1.2.
P(−1.2≤Z≤1.2)=Φ(1.2)−Φ(−1.2)=2Φ(1.2)−1≈0.7698P(-1.2\le Z\le 1.2)=\Phi(1.2)-\Phi(-1.2)=2\Phi(1.2)-1\approx 0.7698.
팁: 대칭구간 확률 = 2Φ(z)−12\Phi(z)-1.
Exhibit 3 f(x)=110e−x/10, x≥0\;f(x)=\frac{1}{10}e^{-x/10},\; x\ge 0 (지수분포, 평균 10)
19.
Exhibit 2를 참고하시오.
MBA 졸업자 중 $34,000 ~ $46,000 사이의 초봉을 받는 사람의 비율은?
a. 38.49%
b. 38.59%
c. 50%
d. 76.98%
Exhibit 3
f(x) =(1/10) e‑x/10 x ³ 0
20. Refer to Exhibit 3. The mean of x is
a. 0.10
b. 10
c. 100
d. 1,000
20.
정답: b (10)
해설: 지수분포 평균 =1/λ=1/\lambda. 여기서 λ=1/10⇒μ=10\lambda=1/10\Rightarrow \mu=10.
팁: “지수분포: 평균=표준편차=1/λ”.
[Exhibit 3]
f(x)=110e−x/10, x≥0f(x) = \frac{1}{10} e^{-x/10}, \; x ≥ 0
20.
Exhibit 3을 참고하시오.
이 분포의 평균은 얼마인가?
a. 0.10
b. 10
c. 100
d. 1,000
21. Refer to Exhibit 3. The probability that x is less than 5 is
a. 0.6065
b. 0.0606
c. 0.3935
d. 0.9393
21.
정답: c (0.3935)
해설: P(X<5)=1−e−5/10=1−e−0.5≈0.3935P(X<5)=1-e^{-5/10}=1-e^{-0.5}\approx 0.3935.
팁: 지수 CDF: 1−e−λx1-e^{-\lambda x}.
21.
Exhibit 3을 참고하시오.
x<5x < 5 일 확률은?
a. 0.6065
b. 0.0606
c. 0.3935
d. 0.9393
22. Refer to Exhibit 3. The probability that x is between 3 and 6 is
a. 0.4512
b. 0.1920
c. 0.2592
d. 0.6065
22.
정답: b (0.1920)
해설: P(3≤X≤6)=F(6)−F(3)=e−0.3−e−0.6≈0.1920P(3\le X\le 6)=F(6)-F(3)=e^{-0.3}-e^{-0.6}\approx 0.1920.
팁: 구간확률 = CDF 차이
22.
Exhibit 3을 참고하시오.
3≤x≤63 ≤ x ≤ 6 일 확률은?
a. 0.4512
b. 0.1920
c. 0.2592
d. 0.6065
23. Doubling the size of the sample will
a. reduce the standard error of the mean to one-half its current value
b. reduce the standard error of the mean to approximately 70% of its current value
c. have no effect on the standard error of the mean
d. double the standard error of the mean
23. (표본크기를 2배로 키우면 표본평균의 표준오차?)
정답: b (약 70%)
해설: 표준오차 =σ/n=\sigma/\sqrt{n}. n→2n⇒SE→SE/2≈0.707n\to 2n\Rightarrow \text{SE} \to \text{SE}/\sqrt{2}\approx 0.707.
팁: “2배 표본 → SE는 약 0.71배”.
23.
표본의 크기를 두 배로 늘리면 어떤 효과가 있는가?
a. 평균의 표준오차가 절반으로 줄어든다.
b. 평균의 표준오차가 현재 값의 약 70% 수준으로 줄어든다.
c. 평균의 표준오차에는 변화가 없다.
d. 평균의 표준오차가 두 배로 커진다.
PROBLEMS
51. In a random sample of UTC students 50% indicated they are business majors, 40% engineering majors, and 10% other majors. Of the business majors, 60% were females; whereas, 30% of engineering majors were females. Finally, 20% of the other majors were female.
a. What percentage of students in this sample was female?
b. Given that a person is female, what is the probability that she is an engineering major?
51.
임의로 추출한 UTC 학생 표본에서 다음과 같은 전공 분포가 나타났다:
- 경영학 전공: 50%
- 공학 전공: 40%
- 기타 전공: 10%
경영학 전공자의 60%는 여성이고,
공학 전공자의 30%는 여성,
기타 전공자의 20%는 여성이다.
(a) 이 표본에서 여학생의 비율은 몇 퍼센트인가?
(b) 한 학생이 여학생임이 주어졌을 때, 그 학생이 공학 전공일 확률은?
52. A corporation has 15,000 employees. Sixty-two percent of the employees are male. Twenty-three percent of the employees earn more than $30,000 a year. Eighteen percent of the employees are male and earn more than $30,000 a year.
a. If an employee is taken at random, what is the probability that the employee is male?
b. If an employee is taken at random, what is the probability that the employee earns more than $30,000 a year?
c. If an employee is taken at random, what is the probability that the employee is male and earns more than $30,000 a year?
d. If an employee is taken at random, what is the probability that the employee is male or earns more than $30,000 a year or both?
e. The employee taken at random turns out to be male. Compute the probability that he earns more than $30,000 a year.
f. Are being male and earning more than $30,000 a year independent?
52.
한 회사에 15,000명의 직원이 있다.
- 62%는 남성
- 23%는 연봉 $30,000 초과
- 18%는 남성이며 연봉이 $30,000 초과
(a) 무작위로 직원 한 명을 뽑았을 때, 남성일 확률은?
(b) 무작위로 직원 한 명을 뽑았을 때, $30,000 초과 수입을 가질 확률은?
(c) 무작위로 직원 한 명을 뽑았을 때, 남성이며 $30,000 초과 수입일 확률은?
(d) 무작위로 직원 한 명을 뽑았을 때, 남성이거나 $30,000 초과 수입이거나 둘 다일 확률은?
(e) 선택된 직원이 남성임을 알고 있을 때, 그가 $30,000 초과 수입일 확률은?
(f) ‘남성’과 ‘$30,000 초과 수입’ 사건은 서로 독립적인가?
53. John parks cars at a hotel. On the average, 6.7 cars will arrive in an hour. Assume that a driver's decision on whether to let John park the car does not depend upon any other person's decision. Define the random variable x to be the number of cars arriving in any hour period.
a. What is the appropriate probability distribution for x? Explain how x satisfies the properties of the distribution.
b. Compute the probability that exactly 5 cars will arrive in the next hour.
c. Compute the probability that no more than 5 cars will arrive in the next hour.
53.
John은 호텔에서 차량 주차를 담당한다.
평균적으로 한 시간에 6.7대의 차가 도착한다.
각 운전자가 John에게 주차를 맡길지 여부는 다른 사람의 결정과 독립적이다.
확률변수 xx를 ‘한 시간 동안 도착하는 차량 수’라고 하자.
(a) x에 적합한 확률분포는 무엇인가? 그리고 그 이유를 설명하시오.
(b) 다음 한 시간 동안 정확히 5대의 차량이 도착할 확률은?
(c) 다음 한 시간 동안 5대 이하의 차량이 도착할 확률은?
54. A local bank has determined that the daily balances of the checking accounts of its customers are normally distributed with an average of $280 and a standard deviation of $20.
a. What percentage of its customers has daily balances of more than $275?
b. What percentage of its customers has daily balances less than $243?
c. What percentage of its customers' balances is between $241 and $301.60?
54.
한 지역 은행의 고객 당 당좌예금 일일 잔액은 평균 $280, 표준편차 $20의 정규분포를 따른다.
(a) 일일 잔액이 $275를 초과하는 고객의 비율은?
(b) 일일 잔액이 $243 미만인 고객의 비율은?
(c) 잔액이 $241 이상 $301.60 이하인 고객의 비율은?
55. Ten percent of the items produced by a machine are defective. A random sample of 100 items is selected and checked for defects.
a. Determine the standard error of the proportion.
b. What is the probability that the sample will contain more than 2.5% defective units?
c. What is the probability that the sample will contain more than 13% defective units?
55.
한 기계에서 생산된 제품 중 10%가 불량품이다.
무작위로 100개의 제품을 뽑아 검사한다.
(a) 표본 비율의 표준오차(Standard Error) 를 구하시오.
(b) 표본에서 2.5%를 초과하는 불량품이 포함될 확률은?
(c) 표본에서 13%를 초과하는 불량품이 포함될 확률은?
✅ (참고: 위 55-(c)는 “표본의 불량률이 13%를 초과할 확률은 얼마인가?” 를 의미합니다.)
한글 객관식 문제 (MULTIPLE CHOICE QUESTIONS)
1.
당신이 좋아하는 축구팀이 시즌을 마치기까지 2경기를 남겨두고 있다고 하자.
각 경기의 결과는 이김(Win), 짐(Lose), 또는 비김(Tie) 이 될 수 있다.
가능한 결과의 조합 수는 몇 개인가?
a. 2
b. 4
c. 6
d. 위의 답 중 어떤 것도 옳지 않다.
2.
만약
P(A)=0.85, P(A∪B)=0.72, P(A∩B)=0.66P(A) = 0.85, \; P(A ∪ B) = 0.72, \; P(A ∩ B) = 0.66
이라면, P(B)P(B) 의 값은?
a. 0.15
b. 0.53
c. 0.28
d. 0.15
3.
다음 중 항상 참인 명제는?
a. −1≤P(Ei)≤1-1 ≤ P(E_i) ≤ 1
b. P(A)=1−P(Ac)P(A) = 1 - P(A^c)
c. P(A)+P(B)=1P(A) + P(B) = 1
d. b와 c 둘 다 참이다.
4.
베이즈 정리(Bayes’ theorem) 은 무엇을 구할 때 사용되는가?
a. 사전확률(prior probabilities)
b. 사건의 합집합(union of events)
c. 사전확률과 사건의 합집합 둘 다
d. 사후확률(posterior probabilities)
5.
다음 중 이산 확률함수(discrete probability function) 가 만족해야 할 조건은?
a. ∑f(x)=0\sum f(x) = 0
b. f(x)≥1f(x) ≥ 1 for all x
c. f(x)<0f(x) < 0
d. 위의 답 중 옳은 것이 없다.
6.
이항실험(binomial experiment)에서 p=0.4p = 0.4, 표본 크기 n=50n = 50일 때,
분포의 분산(variance) 은 얼마인가?
a. 20
b. 12
c. 3.46
d. 정보를 충분히 알 수 없다.
7.
섬유산업에서, 제조업체가 100피트당 발생하는 결점(blemishes) 또는 하자(flaws) 의 개수에 관심이 있다.
이 경우 가장 적절한 확률분포는?
a. 정규분포 (normal)
b. 이항분포 (binomial)
c. 포아송분포 (Poisson)
d. 균등분포 (uniform)
8.
이항분포와 초기하분포(hypergeometric distribution)의 주요 차이점은 무엇인가?
a. 성공 확률이 0.5보다 작아야 한다.
b. 성공 확률이 시행마다 변한다.
c. 시행들이 서로 독립이다.
d. 확률변수가 연속형이다.
9.
한 제품의 조립시간이 6분에서 10분 사이에 균등하게 분포한다고 하자.
그 구간 내에서 확률밀도함수(pdf)의 값은 얼마인가?
a. 0.25
b. 4.00
c. 5.00
d. 0
[Exhibit 1]
한 대학생이 집과 학교 사이를 이동할 때 걸리는 시간이 40분에서 90분 사이에서 균등분포 한다고 하자.
10.
Exhibit 1을 참고하시오.
이 실험에서의 확률변수(random variable)는 무엇인가?
a. 균등분포 자체
b. 40분
c. 90분
d. 이동시간(travel time)
11.
Exhibit 1을 참고하시오.
그녀가 80분 이내에 이동을 마칠 확률은?
a. 0.02
b. 0.8
c. 0.2
d. 1.00
12.
Exhibit 1을 참고하시오.
그녀의 이동시간이 60분보다 길 확률은?
a. 1.00
b. 0.40
c. 0.02
d. 0.600
13.
Exhibit 1을 참고하시오.
그녀의 이동시간이 정확히 50분일 확률은?
a. 0
b. 0.02
c. 0.06
d. 0.20
14.
정규분포의 평균이 음수라면?
a. 표준편차도 반드시 음수여야 한다.
b. 분산도 반드시 음수여야 한다.
c. 계산이 잘못되었다. 정규분포의 평균은 음수가 될 수 없다.
d. 위의 선택지 중 옳은 것이 없다.
15.
표준정규분포 ZZ에서, Z의 오른쪽 면적이 0.1401일 때, Z값은?
a. 1.08
b. 0.1401
c. 2.16
d. -1.08
[Exhibit 2]
MBA 학위를 가진 사람들의 초봉이 평균 $40,000, 표준편차 $5,000인 정규분포를 따른다고 하자.
16.
Exhibit 2를 참고하시오.
이 실험의 확률변수는 무엇인가?
a. 초봉 (starting salaries)
b. 정규분포 (normal distribution)
c. $40,000
d. $5,000
17.
Exhibit 2를 참고하시오.
무작위로 선택한 MBA 졸업자가 최소 $30,000 이상의 초봉을 받을 확률은?
a. 0.4772
b. 0.9772
c. 0.0228
d. 0.5000
18.
Exhibit 2를 참고하시오.
무작위로 선택한 MBA 졸업자가 $47,500 이상의 초봉을 받을 확률은?
a. 0.4332
b. 0.9332
c. 0.0668
d. 0.5000
19.
Exhibit 2를 참고하시오.
MBA 졸업자 중 $34,000 ~ $46,000 사이의 초봉을 받는 사람의 비율은?
a. 38.49%
b. 38.59%
c. 50%
d. 76.98%
[Exhibit 3]
f(x)=110e−x/10, x≥0f(x) = \frac{1}{10} e^{-x/10}, \; x ≥ 0
20.
Exhibit 3을 참고하시오.
이 분포의 평균은 얼마인가?
a. 0.10
b. 10
c. 100
d. 1,000
21.
Exhibit 3을 참고하시오.
x<5x < 5 일 확률은?
a. 0.6065
b. 0.0606
c. 0.3935
d. 0.9393
22.
Exhibit 3을 참고하시오.
3≤x≤63 ≤ x ≤ 6 일 확률은?
a. 0.4512
b. 0.1920
c. 0.2592
d. 0.6065
23.
표본의 크기를 두 배로 늘리면 어떤 효과가 있는가?
a. 평균의 표준오차가 절반으로 줄어든다.
b. 평균의 표준오차가 현재 값의 약 70% 수준으로 줄어든다.
c. 평균의 표준오차에는 변화가 없다.
d. 평균의 표준오차가 두 배로 커진다.
✳️ 서술형 문제 (PROBLEMS)
모든 문제(부문항 포함)는 각각 1점이다.
풀이과정을 반드시 포함해야 하며,
풀이과정이 없는 답은 0점 처리 된다. (유의할 것!)
51.
임의로 추출한 UTC 학생 표본에서 다음과 같은 전공 분포가 나타났다:
- 경영학 전공: 50%
- 공학 전공: 40%
- 기타 전공: 10%
경영학 전공자의 60%는 여성이고,
공학 전공자의 30%는 여성,
기타 전공자의 20%는 여성이다.
(a) 이 표본에서 여학생의 비율은 몇 퍼센트인가?
(b) 한 학생이 여학생임이 주어졌을 때, 그 학생이 공학 전공일 확률은?
52.
한 회사에 15,000명의 직원이 있다.
- 62%는 남성
- 23%는 연봉 $30,000 초과
- 18%는 남성이며 연봉이 $30,000 초과
(a) 무작위로 직원 한 명을 뽑았을 때, 남성일 확률은?
(b) 무작위로 직원 한 명을 뽑았을 때, $30,000 초과 수입을 가질 확률은?
(c) 무작위로 직원 한 명을 뽑았을 때, 남성이며 $30,000 초과 수입일 확률은?
(d) 무작위로 직원 한 명을 뽑았을 때, 남성이거나 $30,000 초과 수입이거나 둘 다일 확률은?
(e) 선택된 직원이 남성임을 알고 있을 때, 그가 $30,000 초과 수입일 확률은?
(f) ‘남성’과 ‘$30,000 초과 수입’ 사건은 서로 독립적인가?
53.
John은 호텔에서 차량 주차를 담당한다.
평균적으로 한 시간에 6.7대의 차가 도착한다.
각 운전자가 John에게 주차를 맡길지 여부는 다른 사람의 결정과 독립적이다.
확률변수 xx를 ‘한 시간 동안 도착하는 차량 수’라고 하자.
(a) x에 적합한 확률분포는 무엇인가? 그리고 그 이유를 설명하시오.
(b) 다음 한 시간 동안 정확히 5대의 차량이 도착할 확률은?
(c) 다음 한 시간 동안 5대 이하의 차량이 도착할 확률은?
54.
한 지역 은행의 고객 당 당좌예금 일일 잔액은 평균 $280, 표준편차 $20의 정규분포를 따른다.
(a) 일일 잔액이 $275를 초과하는 고객의 비율은?
(b) 일일 잔액이 $243 미만인 고객의 비율은?
(c) 잔액이 $241 이상 $301.60 이하인 고객의 비율은?
55.
한 기계에서 생산된 제품 중 10%가 불량품이다.
무작위로 100개의 제품을 뽑아 검사한다.
(a) 표본 비율의 표준오차(Standard Error) 를 구하시오.
(b) 표본에서 2.5%를 초과하는 불량품이 포함될 확률은?
(c) 표본에서 13%를 초과하는 불량품이 포함될 확률은?
✅ (참고: 위 55-(c)는 “표본의 불량률이 13%를 초과할 확률은 얼마인가?” 를 의미합니다.)
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